소수는 무엇인가? 제 1부 소수의 중요한 성질과 생활에의 적용

소수란 무엇인가?

제 1부. 소수의 중요한 성질과 생활에서의 적용

 

✔ 시작하기에 앞서서...

 곧 2015년이 되겠지만 일단 올해는 2014년의 해입니다. 지금부터 말하고자 하는 소수는 1과 자기 자신 이외의 다른 양의 정수로 나누어지지 않는 1보다 큰 정수, 더 이상 분해 할 수 없는 수를 말합니다. 정의에 따르면 2014는 소수가 아니기에 올해는 소수의 해라고 말할 수 없게 됩니다. 다만 3년 전인 2011년은 소수의 해라고 말할 수 있게 되겠지요.
 필자는 수학이야기 <소수는 무엇인가?> 를 3번 연재할 계획입니다. 제 1부에서는 “소수의 중요한 성질과 생활에의 적용”, 제 2부에서는 “소수의 종류는 얼마나 있는가?”, 제 3부에서는 “소수에 관련된 수학자와 리만 가설의 소개”를 끝으로 마무리를 할 계획입니다 1부는 대부분의 사람들이 쉽거나 자명한 내용들이 많아 흥미롭게 읽을 수 있으나 제 2부와 제 3부에서는 다소 생소하거나 정의 자체가 어렵게 소개되는 내용들이 많을 수도 있습니다. 그래도 인내와 흥미를 가지고 읽어본다면 비록 적은 내용일지라도 조그만 수학적 전문지식을 습듭했다는 자신감을 가질 수 있을 것입니다.
(개인적인 생각이므로 조금이나마 도움이 되었으면 하는 바램으로 시작해볼게요 ^^ )

 소수라는 수학적 용어에 많은 사람들은 수학조차 흥미를 가지는 사람이 많지 않기 때문에 그런 사람들이 흥미를 가지게 하기 위해서 주변에서 자주 볼 수 있지만 잘 알지 못했던 사실을 소개하면서 시작하겠습니다. 제가 가장 좋아하는 계절은 이 글을 쓰는 시점인 겨울이지만 내년 피서를 기대하면서 여름으로 이야기를 옮겨봅시다. 여름 하면 떠오르는 곤충은 매미입니다. 매미는 한 여름에만 맴~맴~하고 우니까 짧게 사는 같이 보이지만 그렇지 않습니다. 매미는 상당히 오래 사는 곤충입니다. 매미는 식물의 조직 속에 알을 낳는데, 우리나라에서 서식하고 있는 유지매미와 참매미는 산란한 후 7년이 지나야 성충이 되고, 늦털매미는 5년이 되어야 성충이 된다고 합니다. 매미탑이라는 북아메리카에 사는 매미는 산란한 후 13년이 지나야 성충이 되는 것과 17년이 지나야 성충이 되는 것, 두 종이 있습니다. 이처럼 대부분의 매미는 산란에서 성충이 되기까지 삶의 주기가 보통 5년, 7년, 13년, 17년인데, 이것은 흥미롭게도 삶의 주기가 모두 소수가 된다는 흥미로운 사실을 알 수 있습니다. 따라서 필자는 왜 매미의 삶의 주기가 소수가 되는 이유에 대해 파헤쳐보고 소수에 대해서도 자세히 파헤쳐보도록 하겠습니다.

 

✔ 매미의 수명은 왜 소수일까? 

  그 이유를 설명하는 데에는 두 가지 학설이 있습니다. 첫 번째, 소수를 생의 주기로 삼으면 천적을 피하기 쉽다는 것입니다. 예를 들어 매미의 삶의 주기가 6년이고 천적의 삶의 주기가 2년 또는 3년이라면 매미와 천적은 6년마다 만나게 됩니다. 또한 삶의 주기가 4년인 천적과는 12년마다 만나게 됩니다. 그렇지만 매미의 삶의 주기가 7년이라면, 삶의 주기가 2년인 천적과는 매 14년마다 만나게 되고, 삶의 주기가 3년인 천적과는 21년마다 만나게 되며, 4년인 천적과는 28년마다 만나게 됩니다. 이렇게 되면 매미는 종족번식을 위한 보다 많은 시간과 기회를 얻게 되는 것입니다.
또 다른 학설은 동종간의 경쟁을 피하기 위해 스스로 삶의 주기를 조정한다는 것입니다. 모든 매미들의 삶의 주기가 같아서 겹치게 되면 그만큼 먹이를 둘러싼 생존경쟁이 치열해질 것입니다. 따라서 많은 종의 매미가 많은 자손을 퍼뜨리려면 동시에 출현하지 않는 것이 서로에게 유리하게 됩니다. 결국 주기를 소수로 하면 그 만큼 서로 만나서 경쟁하는 횟수가 줄어들게 됩니다. 예를 들어, 5년 주기인 매미와 7년 주기인 매미는 35년마다 만나게 되고, 13년 주기인 매미와 17년 주기인 매미는 221년마다 만나게 되므로 서로에게 그만큼 종족번식의 기회가 많아지게 됩니다. 이와 같이 매미는 천적으로부터 종족을 보존하기 위하여 또는 먹이를 둘러싼 동종간의 경쟁을 피하기 위하여 소수를 삶의 주기로 진화해왔다고 합니다.

  

 

✔ 소수, 쪼갤래야 더 이상 쪼갤 수 없는 아주 단단한 수

 어떤 물질을 이루는 기본 단위인 ‘원자(atom)’는 ‘더 이상 나누거나 분해할 수 없는 물질’이라는 뜻입니다. (현재에는 원자보다 더 작은 입자가 있다는 사실이 알려져 있습니다). 물질에서 원자와 같은 개념을 수학에 적용한 것이 소수입니다. 즉, 어떤 수를 분해할 때 ‘더 이상 분해할 수 없는 수’를 소수라고 생각하면 됩니다. 소수(prime number)의 수학적 정의는 1과 자기 자신 이외의 다른 양의 정수로 나누어지지 않는 1보다 큰 정수(p)입니다. 한편 1보다 큰 정수 a가 소수가 아닐 때, a를 합성수(composite number)라고 합니다. 이와 같이 소수가 모든 정수의 기본이 되는 수라는 것을 설명해 주는 것이 ‘정수론의 기본정리’입니다.

*** 정수론의 기본정리 ***

 위와 같이 1보다 큰 양의 정수 n을 유한개의 소수의 곱으로 쓸 수 있는데, p1, p2, 이것은 마치 어떤 화합물을 적당한 용도로 사용하기 위해 그 물질에 어떤 원자가 얼마만큼의 비율로 들어 있고, 그들의 결합 상태가 어떻게 되어 있는지를 알아내는 것과 같습니다.

 

✔ 소수는 무수히 많다 !

 

✔ 소수를 판별하는 방법은 무엇인가?

 가장 먼저 판별하려는 자연수에 루트를 씌운 후에 그 수의 정수 값을 알아냅니다. 결국 그 정수 값을 찾게 되면 그 수보다 같거나 작은 소수로 원래의 수를 나누어 봅니다. 만약 하나의 수라도 나누어 떨어지면 그 수는 소수가 아닌 합성수가 되고, 끝까지 나누어 떨어지는 수가 없다면 소수가 됨을 알 수 있습니다.

 

✔ 소수가 암호에도 사용된다?

소수는 특히 첨단 정보화 사회가 된 오늘날에는 정보를 보호하는 암호에 사용되고 있다. 최근에 사용되는 암호는 대부분 소수를 이용한 공개 열쇠 암호 방식으로 만들어져 있다. 공개 열쇠 암호 방식은 암호를 만드는 방식은 공개되지만 그 암호를 원래의 문장으로 돌려놓는 열쇠를 알아내기가 거의 불가능한 방식이다. 이런 방식이 가능한 이유는 큰 정수를 소인수 분해 하는 것이 매우 어렵기 때문이다. 예를 들어 어떤 두 소수를 곱한 수 4067351을 이용하여 암호를 만들었다는 것을 공개한다. 그런데 암호를 원래의 문장으로 돌려놓기 위해서는 이 수가 어떤 두 소수의 곱으로 되어 있는지 알아야 한다. 사실 이 수는 두 소수 1733과 2347의 곱이다. 그런데 두 소수 1733과 2347을 주고 이들의 곱 4067351을 계산하는 문제는 아주 쉽지만, 거꾸로 4067351이 어떤 두 소수의 곱으로 되어 있는지를 찾는 소인수분해 문제는 매우 어렵다. 실제로 사용되는 공개 열쇠 암호 방식은 예를 든 방법보다 훨씬 복잡하고 정교하지만, 소인수분해가 어렵다는 암호의 근본 원리는 같다.

1977년에 공개열쇠 암호 방식이 처음 발표될 당시, 예로 들었던 두 소수를 곱한 수를 인수분해 하는데 약 4경 년이 걸릴 것으로 예상했습니다. 그러다가 1994년에 인수분해 알고리즘이 개발되며 인수분해를 좀 더 빨리 할 수 있게 되었는데, 다행스럽게도 인수분해를 알고리즘을 이용해도 100년 이상 걸립니다. 그래서 공개열쇠 암호방식은 오늘날 은행의 저금통장의 비밀번호에서부터 인터넷에서 사용되는 ID와 암호 등 다양하게 이용되고 있습니다. 그러나 인수분해 알고리즘이 계속해서 발전하고 있기 때문에 그에 대응하여 더 큰 소수가 필요하게 되었습니다. 그래서 소수를 연구하는 수학자들은 더 큰 소수를 찾기 위해서 지금도 노력하고 있습니다.